ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2561 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 22

ให้ $f (x)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง โดยที่กราฟของ $y = f (x)$ มีจุดต่ำสุดที่ $(0, - 9)$ และตัดแกน $x$ ที่จุด $(x_{1}, 0)$ และ $(x_{2}, 0)$ ถ้าพื้นที่ซึ่งปิดล้อมด้วยกราฟของ $y = f (x)$ และแกน $x$ จาก $x_{1}$ ถึง $x_{2}$ เท่ากับ $18$ ตารางหน่วย แล้ว $f (2)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 5$
2
$- 3$
3
$0$
4
$3$
5
$7$

เฉลยข้อสอบ

$สูตรพาราโบลา y = a (x - h)^{2} + k \to 1 จากโจทย์ f (x) เป็นฟังก์ชันกำลังสอง แสดงว่า f (x) เป็นพาราโบลา จากโจทย์ y = f (x) มีจุดต่ำสุดที่ (0, - 9) แสดงว่า เป็นพาราโบลาหงาย (a > 0), (h, k) = (0, - 9)$

$จาก 1 จะได้ y = a (x - 0)^{2} + (- 9) y = {ax}^{2} - 9 \to 2 จากโจทย์ ตัดแกน x ที่จุด (x_{1}, 0) และ (x_{2}, 0) หาจุดตัดแกน x \to แทนค่า y = 0 จะได้ 0 = {ax}^{2} - 9 x = \pm \sqrt{\frac{9}{a}} x = \pm \frac{3}{\sqrt{a}}$

$จากโจทย์ พื้นที่ซึ่งปิดล้อม เท่ากับ 18 ตารางหน่วย จะได้ |{}_{x_{1}}^{x_{2}}\int y d x| = 18 |{}_{\frac{- 3}{\sqrt{a}}}^{\frac{3}{\sqrt{a}}}\int (a x^{2} - 9) d x| = 18 |{\frac{a x^{3}}{3} - 9 x}_{\frac{- 3}{\sqrt{a}}}^{\frac{3}{\sqrt{a}}}| = 18$

$|[\frac{a}{3} {(\frac{3}{\sqrt{a}})}^{3} - 9 (\frac{3}{\sqrt{a}})] - [\frac{a}{3} {(\frac{- 3}{\sqrt{a}})}^{3} - 9 (\frac{- 3}{\sqrt{a}})]| = 18 |\frac{2 a}{3} {(\frac{3}{\sqrt{a}})}^{3} - 2 (9) (\frac{3}{\sqrt{a}})| = 18 |\frac{- 36}{\sqrt{a}}| = 18 \sqrt{a} = 2 a = 4$