ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2562 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 12

เศษเหลือจากการหาร ${(\sum_{k = 1}^{10} k!)}^{2}$ ด้วย $5$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$0$
2
$1$
3
$2$
4
$3$
5
$4$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตร \sum_{k = 1}^{n} k! = 1! + 2! + 3! + . . . + k! จะได้ \sum_{k = 1}^{10} k! = 1! + 2! + 3! + . . . + 10! {(\sum_{k = 1}^{10} k!)}^{2} = {(1! + 2! + 3! + . . . + 10!)}^{2}$

$จากโจทย์ เศษที่เหลือจากการหาร {(\sum_{k = 1}^{10} k!)}^{2} ด้วย 5 เท่ากับ ? - พิจารณา 1! = 1 หาร 5 เหลือเศษ 1 2! = 2 \times 1 = 2 หาร 5 เหลือเศษ 2 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 หาร 5 เหลือเศษ 1 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 หาร 5 เหลือเศษ 4 - และตั้งแต่ 5!, 6!, 7! จะมี 5 คูณอยู่เป็นตัวประกอบหนึ่งเสมอ จะได้ 5!, 6!, 7! หาร 5 เหลือเศษ 0$

$เศษที่เหลือจากการหาร {(1! + 2! + 3! + . . . + 10!)}^{2} = {(1 + 2 + 1 + 4 + \underset{6 ตัว}{\underset{⏟}{0 + . . . + 0}})}^{2} = 8^{2} = 64 = 4 ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร {({\sum k!}_{k = 1}^{10})}^{2} ด้วย 5 คือ 4$

ข้อถัดไป