ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2562 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 13

กำหนดให้ $P (x) = x^{3} + {ax}^{2} + bx + 2$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ถ้า $x + 2$ หาร $P (x)$ เหลือเศษ $2$ และสมการ $P (x) = 0$ มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ อย่างน้อยหนึ่งตัว แล้ว $a + b$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$11$
2
$12$
3
$13$
4
$14$
5
$15$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$- จากโจทย์ ถ้า x + 2 หาร P (x) เหลือเศษ 2 จะได้ว่า P (- 2) = 2 นั่นคือ {(- 2)}^{3} + a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + 2 = 2 - 8 + 4 a - 2 b = 0 4 a - 2 b = 8 2 a - b = 4 ∴ b = 2 a - 4$

$- จากโจทย์ P (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 2 ∴ P (x) = x^{3} + a x^{2} + (2 a - 4) x + 2 \to ⊛ โจทย์ให้ P (x) = 0 ดังนั้น x^{3} + a x^{2} + (2 a - 4) x + 2 = 0 ∙ พิจารณาการแยกตัวประกอบของสมการพหุนาม โดยการหารสังเคราะห์$

$\begin{matrix} 1 & a & (2 a - 4) & 2 \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} 1 ∙ คำตอบของสมการ จะพิจารณาจากตัวประกอบ ของ สปส . พจน์ x^{0} นั่นคือ 2$

$∴ ตัวประกอบของ 2 คือ \pm 1, \pm 2 จะได้ว่า P (1) = 0 ถูก P (- 1) = 0 ถูก P (2) = 0 ถูก P (- 2) = 0 ผิด ∙ แต่โจทย์กำหนดให้ [P (- 2) = 2] \neq 0 ดังนั้น x = - 2 ไม่ใช่คำตอบของสมการ$

$∙ เมื่อ P (1) = 0 จาก ⊛ จะได้ 1^{3} + a {(1)}^{2} + (2 a - 4) (1) + 2 = 0 1 + a + 2 a - 4 + 2 = 0 3 a - 1 = 0 a = \frac{1}{3}$

$∙ เมื่อ P (- 1) = 0 จาก ⊛ จะได้ {(- 1)}^{3} + a {(- 1)}^{2} + (2 a - 4) (- 1) + 2 = 0 - 1 + a - 2 a + 4 + 2 = 0 - a + 5 = 0 a = 5$

$∙ เมื่อ P (2) = 0 จาก ⊛ จะได้ 2^{3} + a {(2)}^{2} + (2 a - 4) (2) + 2 = 0 8 + 4 a + 4 a - 8 + 2 = 0 8 a + 2 = 0 8 a = - 2 a = - \frac{1}{4}$

$- เนื่องจาก a ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ∴ a = 5 - จาก b = 2 a - 4 จะได้ b = 2 (5) - 4 ∴ b = 6 ดังนั้น a + b = 5 + 6 = 11$

ข้อถัดไป