ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2562

$นิยาม \sum_{i = 1}^{N} |x_{i} - m e d| มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ m e d คือ มัธยฐาน จากโจทย์ |2 - x| + 2 |3 - x| + 2 |5 - \sqrt{2} - x| + 2 |3 + \sqrt{2} - x| + 2 |5 - x| + |6 - x|$

$- จัดให้อยู่ในรูป \sum |x_{i} - m e d| |- (x - 2)| + 2 |- (x - 3)| + 2 |- (x - 5 + \sqrt{2})| + 2 |- (x - 3 - \sqrt{2})| + 2 |- (x - 5)| + |- (x - 6)| จะได้ |x - 2| + 2 |x - 3| + 2 |x - (5 - \sqrt{2})| + 2 |x - (3 + \sqrt{2})| + 2 |x - 5| + |x - 6| \to 1$

$- แยกก้อนที่มี 2 คูณอยู่ เป็นการบวกซ้ำ 2 ครั้ง |x - 2| + |x - 3| + |x - 3| + |x - (5 - \sqrt{2})| + |x - (5 - \sqrt{2})| + |x - (3 + \sqrt{2})| + |x - (3 + \sqrt{2})| + |x - 5| + |x - 5| + |x - 6|$

$หามัธยฐานของ (ข้อมูลมี 10 จำนวน) 2, 3, 3, 5 - \sqrt{2}, 5 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}, 5, 5, 6 - โดย 5 - \sqrt{2} \approx 5 - 1.4 \approx 3.6 3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1.4 \approx 4.4 - เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก จะได้ 2, 3, 3, 5 - \sqrt{2}, 5 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2},, 3 + \sqrt{2}, 5, 5, 6$

$ตำแหน่ง m e d = \frac{N + 1}{2} = \frac{10 + 1}{2} = 5.5 (อยู่ระหว่างตัวที่ 5 กับตัวที่ 6) จะได้ m e d = \frac{(5 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2})}{2} m e d = 4$

$- แทน x = 4 ใน 1 = |4 - 2| + 2 |4 - 3| + 2 |4 - (5 - \sqrt{2})| + 2 |4 - (3 + \sqrt{2})| + 2 |4 - 5| + |4 - 6| = 2 + 2 (1) + 2 |- 1 + \sqrt{2}| + 2 |1 - \sqrt{2}| + 2 + 2 \to 2$

$นิยาม |x| = \{\begin{cases} x & เมื่อ x \geq 0 \\ - x & เมื่อ x < 0 \end{cases} - โดย |- 1 + \sqrt{2}| = - 1 + \sqrt{2} |1 - \sqrt{2}| = - (1 - \sqrt{2}) = - 1 + \sqrt{2} แทนใน 2 จะได้ = 2 + 2 + 2 (- 1 + \sqrt{2}) + 2 (- 1 + \sqrt{2}) + 2 + 2 = 2 + 2 - 2 + 2 \sqrt{2} - 2 + 2 \sqrt{2} + 2 + 2 = 4 + 4 \sqrt{2} ดังนั้น ค่าต่ำสุดของข้อมูล เท่ากับ 4 + 4 \sqrt{2}$