ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2563 (วิชาสามัญเก่า)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตรสมการพาราโบลาหงาย} \\ y = a{\left(x-h\right)}^2+k ; a > 0 \\ \mathrm{จากโจทย์} \\ \mathrm{พาราโบลาที่มีจุดยอด} \left(h, k\right) = \left(0, -9\right) \\ \mathrm{และสามารถปิดล้อมพื้นที่กับแกน} x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} y = a{\left(x-0\right)}^2+\left(-9\right) \\ y = a{x}^2-9 \dots \overline{)1} \\ \mathrm{หาพืนที่ปิดล้อมกับแกน} x \\ \mathrm{ต้องอินทิเกรตในช่วงที่กราฟตัดแกน} x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{โดยแทน} y = 0 \\ 0 = a{x}^2-9 \\ x = \pm \frac{3}{\sqrt{a}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} {\int }_{-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{a}$}\right.}\left(a{x}^2-9\right)dx = {\overline{)\left[\frac{a{x}^3}{3}-9x\right]}}_{-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{\frac{3}{\sqrt{a}}} \\ = \left[\frac{3}{a}{\left(\frac{3}{\sqrt{a}}\right)}^3-9\left(\frac{3}{\sqrt{a}}\right)\right]-\left[\frac{a}{3}{\left(-\frac{3}{\sqrt{a}}\right)}^3-9\left(-\frac{3}{\sqrt{a}}\right)\right] \\ = \left(\frac{9}{\sqrt{a}}-\frac{27}{\sqrt{a}}\right)-\left(-\frac{9}{\sqrt{a}}+\frac{27}{\sqrt{a}}\right) \\ = -\frac{36}{\sqrt{a}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{โจทย์ให้พื้นที่} = 9 \mathrm{ตารางหน่วย} \\ \mathrm{จะได้} \left|-\frac{36}{\sqrt{a}}\right| = 9 \\ 4 = \sqrt{a} \\ a = 16 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แทนใน} \overline{)1} \\ \mathrm{ดังนั้น} y = 16x^2-9 \\ \mathrm{ตอบ} 5 \end{gathered}$$