ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2563 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 26

กำหนดให้ $P (x) = x^{4} + {ax}^{3} + {bx}^{2} + cx - 5$ เมื่อ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม ถ้าสมการ $P (x) = 0$ มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งตัว และมี $1 + 2 i$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว $P (2)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 15$
2
$- 10$
3
$1$
4
$10$
5
$15$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ เนื่องจาก P (x) มี สปส . เป็นจำนวนจริง ถ้ามี 1 + 2 i เป็นคำตอบ จะได้ว่า 1 - 2 i เป็นคำตอบด้วย P (x) เป็นพหุนามกำลัง 4 สมการ P (x) = 0 จะมีคำตอบไม่เกิน 4 ตัว คือ 1 + 2 i, 1 - 2 i, p, q$

$จากสูตร ผลคูณคำตอบ = \frac{- 5}{1} = - 5 จะได้ (1 + 2 i) (1 - 2 i) (p) (q) = - 5 (1 + 4) (p q) = - 5 p = - \frac{1}{q}$

$โจทย์ให้สมการมีคำตอบตรรกยะ ถ้าให้ p = \frac{m}{n} จะได้ q = - \frac{n}{m} จากสูตร ผลบวกคำตอบ = - \frac{a}{1} = - a จะได้ (1 + 2 i) + (1 - 2 i) + p + q = - a p + q = - a - 2$

$โจทย์ให้ a เป็นจำนวนเต็ม จะได้ p + q เป็น จำนวนเต็มด้วย ให้ p + q = k \frac{m}{n} + (- \frac{n}{m}) = k m^{2} - n^{2} = k m n \dots 1$

$จาก 1 m^{2} และ k m n หารด้วย m ลงตัว จะได้ n^{2} ที่เหลือ ต้องหารด้วย m ลงตัวด้วย แต่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม ที่ตัดทอนไม่ได้ จะได้ m = \pm 1, n = \pm 1 แทน m, n จะได้ p, q คือ 1, - 1 สร้าง P (x) ดังนี้$

$P (x) = (x - (1 + 2 i)) (x - (1 - 2 i)) (x - 1) (x - (- 1)) P (2) = (2 - (1 + 2 i)) (2 - (1 - 2 i)) (2 - 1) (2 - (- 1)) = (1 - 2 i) (1 + 2 i) (1) (3) = (1 + 4) (1) (3) = 15 ดังนั้น ตอบ 5$