ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2563 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 28

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{m}$ เป็นข้อมูลซึ่งเรียงจากมากไปหาน้อย โดยที่ $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ เมื่อ $n = 1, 2, 3, . . ., m$ ถ้าข้อมูลชุดนี้มีมัธยฐานเท่ากับ $\frac{1}{120}$ แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{20}$
2
$\frac{1}{21}$
3
$\frac{1}{22}$
4
$\frac{1}{23}$
5
$\frac{1}{24}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ลองเขียน \frac{1}{120} ในรูป \frac{1}{n (n + 1)} พบว่า เขียนไม่ได้ เพราะ 120 แยกเป็นผลคูณติดกันไม่ได้ จะได้ มัธยฐาน ไม่ตรงกับพจน์ไหนในลำดับเลย จะอยู่ตรงกลางระหว่างพจน์สองพจน์ที่ติดกัน$

$กำหนดให้อยู่ระหว่าง \frac{1}{k (k + 1)} กับ \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} จะได้ M e = \frac{1}{2} [\frac{1}{k (k + 1)} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)}] = \frac{1}{2} [\frac{k + 2 + k}{k (k + 1) (k + 2)}] = \frac{2 k + 2}{2 k (k + 1) (k + 2)} = \frac{k + 1}{k (k + 1) (k + 2)} = \frac{1}{k (k + 2)}$

$จะได้ \frac{1}{120} = \frac{1}{k (k + 2)} = \frac{1}{10 \times 12} k = 10 M e อยู่ระหว่างพจน์ที่ 10 กับ 11 \frac{m + 1}{2} = 10.5 m = 20$

$จะได้ผลบวก 20 พจน์ คือ \frac{1}{(1) (2)} + \frac{1}{(2) (3)} + \frac{1}{(3) (4)} + \dots + \frac{1}{(20) (21)} เทเลสโคปิก จะได้ \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{20} - \frac{1}{21} 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$

$ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = \frac{ผลบวก 20 พจน์}{20} = \frac{\frac{20}{21}}{20} = \frac{1}{21} ตอบ 2$

ข้อถัดไป