ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2563 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 29

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วม $r$ โดยที่ $|r| < 1$ ถ้า

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 4$

$a_{6} + a_{7} + . . . + a_{14} + a_{15} = 3$

แล้ว $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$8$
2
$9$
3
$10$
4
$11$
5
$12$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร อนุกรมเรขาคณิต S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}$

$จะได้ a_{1} + a_{2} + \dots + a_{5} = \frac{a_{1} (1 - r^{5})}{1 - r} \dots 1 = 4 a_{1} + a_{2} + \dots + a_{15} = \frac{a_{1} (1 - r^{15})}{1 - r} 4 + 3 = \frac{a_{1} (1 - r^{15})}{1 - r} 7 = \frac{a_{1} (1 - r^{15})}{1 - r} \dots 2$

$\frac{2}{1}; \frac{7}{4} = \frac{a_{1} (1 - r^{15})}{1 - r} \cdot \frac{1 - r}{a_{1} (1 - r^{5})} \frac{7}{4} = \frac{1 - r^{15}}{1 - r^{5}} \frac{7}{4} = \frac{(1 - r^{5}) (1 + r^{5} + r^{10})}{(1 - r^{5})}$

$7 = 4 + 4 r^{5} + 4 r^{10} 4 r^{10} + 4 r^{5} - 3 = 0 (2 r^{5} - 1) (2 r^{5} + 3) = 0 r^{5} = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

$เนื่องจาก |r^{5}| < 1 - 1 < r^{5} < 1 - \frac{3}{2} ใช้ต่อไม่ได้$

$จะได้ S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} แทนค่า r^{5} ใน 1 = \frac{a_{1} (1 - \frac{1}{2})}{1 - r} = 4 ดังนั้น \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \frac{a_{1}}{1 - r} = 8 ตอบ 1$

ข้อถัดไป