ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2564 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 11

ให้ $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ เป็นรากที่ $4$ ที่แตกต่างกันของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง โดยที่ $z_{1} = 2 (\cos \frac{π}{9} + i \sin \frac{π}{9}), R e (z_{2}) > 0 และ I m (z_{3}) > 0$ แล้ว ${(z_{4})}^{3^{}}$ เท่ากับเท่าใด

1
$4 \sqrt{3} + 4 i$
2
$4 + 4 \sqrt{3} i$
3
$4 - 4 \sqrt{3} i$
4
$- 4 \sqrt{3} - 4 i$
5
$- 4 - 4 \sqrt{3} i$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร z = r c i s θ จะได้ z^{n} = r^{n} c i s n θ z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 k π}{n}) โดย k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 จากโจทย์ z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} เป็นรากที่ 4 ที่แตกต่างกัน ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง$

$กำหนดให้ z = จำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง จะได้ z_{1} = z^{\frac{1}{4}}, z_{2} = z^{\frac{1}{4}}, z_{3} = z^{\frac{1}{4}}, z_{4} = z^{\frac{1}{4}} z_{1} = z^{\frac{1}{4}} \to z = {z_{1}}^{4} \to 1$

$จากโจทย์ z_{1} = 2 (\cos \frac{π}{9} + i \sin \frac{π}{9}) z_{1} = 2 c i s \frac{π}{9} = 2 c i s 20 °; r = 2, θ = \frac{π}{9} จาก 1 z = {(2 c i s 20 °)}^{4} z = 2^{4} c i s 4 (20 °) z = 16 c i s 80 °$

$โดย z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} เป็นรากที่ 4 \to \frac{360 °}{4} = 90 ° จะได้ z_{1} = 2 c i s 20 ° z_{a} = 2 c i s (20 ° + 90 °) = 2 c i s 110 ° z_{b} = 2 c i s (110 ° + 90 °) = 2 c i s 200 ° z_{c} = 2 c i s (200 ° + 90 °) = 2 c i s 290 ° - วาดรูปวงกลม$

$จากโจทย์ R e (z_{2}) > 0 จะได้ z_{2} = 2 c i s 90 ° จากโจทย์ I m (z_{3}) > 0 จะได้ z_{3} = 2 c i s 110 ° แสดงว่า z_{4} = 2 c i s 200 °$

$ดังนั้น {(z_{4})}^{3} = 2^{3} c i s 3 (200 °) = 8 c i s 600 ° = 8 c i s (360 ° + 240 °) = 8 c i s 240 ° = 8 (\cos 240 ° + i \sin 240 °) = 8 [\cos (180 ° + 60 °) + i \sin (180 ° + 60 °)] = 8 [- \cos 60 ° + i (- \sin 60 °)] = - 8 (\cos 60 ° + i \sin 60 °) = - 8 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = - 4 - 4 \sqrt{3} i$

ข้อถัดไป