ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2564 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 12

คำตอบของสมการ $1 + \frac{5^{x}}{1 + 5^{x}} + \frac{5^{2 x}}{{(1 + 5^{x})}^{2}} + \frac{5^{3 x}}{{(1 + 5^{x})}^{3}} + \dots = \frac{26}{25}$ เท่ากับเท่าใด

1
$- 2$
2
$- 1$
3
$0$
4
$1$
5
$2$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร อนุกรมอนันต์ (เรขาคณิต) S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} \to 1 โดย |r| < 1$

$จากโจทย์ 1 + \frac{5^{x}}{1 + 5^{x}} + \frac{5^{2 x}}{{(1 + 5^{x})}^{2}} + \frac{5^{3 x}}{{(1 + 5^{x})}^{3}} + \dots = \frac{26}{25} 1 + \frac{5^{x}}{1 + 5^{x}} + \frac{{(5^{x})}^{2}}{{(1 + 5^{x})}^{2}} + \frac{{(5^{x})}^{3}}{{(1 + 5^{x})}^{3}} + \dots = \frac{26}{25} 1 + \frac{5^{x}}{1 + 5^{x}} + {(\frac{5^{x}}{1 + 5^{x}})}^{2} + {(\frac{5^{x}}{1 + 5^{x}})}^{3} + \dots = \frac{26}{25}$

$กำหนดให้ A = \frac{5^{x}}{1 + 5^{x}} จะได้ 1 + A + A^{2} + A^{3} + \dots = \frac{26}{25}; r = A จาก 1 \frac{1}{1 - A} = \frac{26}{25} 25 = 26 (1 - A) 25 = 26 - 26 A A = \frac{1}{26}; แทน A = \frac{5^{x}}{1 + 5^{x}}$

$จะได้ \frac{5^{x}}{1 + 5^{x}} = \frac{1}{26} กำหนดให้ 5^{x} = a จะได้ \frac{a}{1 + a} = \frac{1}{26} 26 a = 1 + a a = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^{2}} 5^{x} = 5^{- 2} ดังนั้น x = - 2$

ข้อถัดไป