ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2564 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 16

ให้เมทริกซ์ $A = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}], B = [\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 3 c_{1} & 3 c_{2} & 3 c_{3} \end{matrix}] และ C = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 b_{1} & 3 b_{2} & 3 b_{3} \end{matrix}]$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก) $d e t (B) = 3 d e t (A)$

ข) $d e t (A C) = 0$

ค) $d e t (A + C) = d e t (A) + d e t (C)$

จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1
ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
2
ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
3
ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น
4
ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น
5
ข้อความ ก) ข) และ ค) ถูกต้อง

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$ก) จากโจทย์ d e t B = 3 d e t A นิยาม การคูณด้วยแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่ง ด้วยค่าคงที่ k จะได้ d e t B = k d e t A$

$- หา 3 d e t A จะได้ 3 d e t A = 3 |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}| = |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ 3 c_{1} & 3 c_{2} & 3 c_{3} \end{matrix}|$

$นิยาม การสลับแถวหรือหลักคู่ใดคู่หนึ่ง จะได้ d e t B = - d e t A จะได้ 3 d e t A = |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ 3 c_{1} & 3 c_{2} & 3 c_{3} \end{matrix}| (สลับแถว) 3 d e t A = - d e t B ดังนั้น d e t B = - 3 d e t A ข้อ ก) ผิด$

$ข) จากโจทย์ d e t (A C) = 0 - โดย เมตริกซ์ A, C เป็นเมตริกซ์จัตุรัสขนาด 3 \times 3 สามารถแยกคิด d e t ได้ จะได้ (d e t A) (d e t C) = 0 \to 1$

$จากโจทย์ C = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 b_{1} & 3 b_{2} & 3 b_{3} \end{matrix}] จะได้ d e t C = |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 b_{1} & 3 b_{2} & 3 b_{3} \end{matrix}| d e t C = (0 + 0 + 0) - (0 + 0 + 0) = 0$

$จาก 1 d e t A (0) = 0 0 = 0 เป็นจริง ดังนั้น d e t (A C) = 0 ข้อ ข) ถูก$

$ค) จากโจทย์ d e t (A + C) = d e t (A) + d e t (C) - จากข้อ ข) d e t C = 0 จะได้ d e t (A + C) = d e t A \to 2 - หา d e t (A + C)$

$จะได้ A + C = [\begin{matrix} 2 a_{1} & 2 a_{2} & 2 a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} + 3 b_{1} & c_{2} + 3 b_{2} & c_{3} + 3 b_{3} \end{matrix}] d e t (A + C) = |\begin{matrix} 2 a_{1} & 2 a_{2} & 2 a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} + 3 b_{1} & c_{2} + 3 b_{2} & c_{3} + 3 b_{3} \end{matrix}|$

$d e t (A + C) = 2 |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} + 3 b_{1} & c_{2} + 3 b_{2} & c_{3} + 3 b_{3} \end{matrix}| \to 3 - โดย d e t A = |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}|$

$นิยาม ถ้านำค่าคงที่ คูณแถวใดแถวหนึ่ง หรือหลักใดหลักหนึ่ง แล้วนำไปบวกกับแถวหรือหลักอีกอันหนึ่ง จะได้เมตริกซ์ใหม่ มีค่าเท่ากับ d e t เท่าเดิม R_{3} + 3 R_{2} จะได้ d e t A = |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} + 3 b_{1} & c_{2} + 3 b_{2} & c_{3} + 3 b_{3} \end{matrix}|$

$จาก 3 จะได้ d e t (A + C) = 2 d e t A จาก 2 d e t (A + C) = d e t A ข้อ ค) ผิด$

ข้อถัดไป