ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2564 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 5

ให้เวกเตอร์ $\overset{⇀}{u} \neq \overset{⇀}{0}, \overset{⇀}{v} \neq \overset{⇀}{0} และ |\overset{⇀}{u}| \neq |\overset{⇀}{v}|$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก) มุมระหว่าง $3 \overset{⇀}{u}$ และ $3 \overset{⇀}{v}$ มีขนาดเป็น 3 เท่าของมุมระหว่าง $\overset{⇀}{u}$ และ $\overset{⇀}{v}$

ข) มุมระหว่าง $\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}$ และ $\overset{⇀}{v} - \overset{⇀}{u}$ มีขนาด $180 °$

ค) มุมระหว่าง $\overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}$ และ $\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}$ มีขนาด $90 °$

จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1
ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
2
ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
3
ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
4
ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น
5
ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v} = |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| \cos θ \cos θ = \frac{\overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v}}{|\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}|}$

$ก) จากโจทย์ มุมระหว่าง 3 \overset{⇀}{u} และ 3 \overset{⇀}{v} มีขนาดเป็น 3 เท่าของมุมระหว่าง \overset{⇀}{u} และ \overset{⇀}{v} - หามุมระหว่าง \overset{⇀}{u} และ \overset{⇀}{v} จาก 1 จะได้ \cos θ = \frac{\overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v}}{|\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}|}$

$- หามุมระหว่าง 3 \overset{⇀}{u} และ 3 \overset{⇀}{v} จาก 1 จะได้ \cos θ = \frac{(3 \overset{⇀}{u}) \cdot (3 \overset{⇀}{v})}{|3 \overset{⇀}{u}| |3 \overset{⇀}{v}|} \cos θ = \frac{9 \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v}}{9 |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}|} = \frac{\overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v}}{|\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}|} ดังนั้น มุมระหว่าง \overset{⇀}{u} และ \overset{⇀}{v} มีขนาดเท่ากับมุมระหว่าง 3 \overset{⇀}{u} และ 3 \overset{⇀}{v} ข้อ ก) ผิด$

$ข) จากโจทย์ มุมระหว่าง \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v} และ \overset{⇀}{v} - \overset{⇀}{u} มีขนาด 180 ° กำหนดให้ \overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v} และ - \overset{⇀}{a} = - (\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}) - \overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{v} - \overset{⇀}{u} จะได้ มุมระหว่าง \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v} และ \overset{⇀}{v} - \overset{⇀}{u} คือ มุมระหว่าง \overset{⇀}{a} และ - \overset{⇀}{a}$

$จาก 1 จะได้ \cos θ = \frac{\overset{⇀}{a} \cdot (- \overset{⇀}{a})}{|\overset{⇀}{a}| |- \overset{⇀}{a}|} \cos θ = \frac{- \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{a}}{|\overset{⇀}{a}| |\overset{⇀}{a}|} = \frac{- {|\overset{⇀}{a}|}^{2}}{{|\overset{⇀}{a}|}^{2}} \cos θ = - 1 แสดงว่า θ = 180 ° (\cos 180 ° = - 1)$

$ดังนั้น มุมระหว่าง \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v} และ \overset{⇀}{v} - \overset{⇀}{u} มีขนาด 180 ° ข้อ ข) ถูก$

$ค) จากโจทย์ มุมระหว่าง \overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v} และ \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v} มีขนาด 90 ° จาก 1 จะได้ \cos θ = \frac{(\overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}) \cdot (\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v})}{|\overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}| |\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}|} \cos θ = \frac{\overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v} + \overset{⇀}{v} \cdot \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v} \cdot \overset{⇀}{v}}{|\overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}| |\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}|} - โดย \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v} = \overset{⇀}{v} \cdot \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{u} = {|\overset{⇀}{u}|}^{2}$

$จะได้ \cos θ = \frac{{|\overset{⇀}{u}|}^{2} - {|\overset{⇀}{v}|}^{2}}{|\overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}| |\overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v}|} จากโจทย์ |\overset{⇀}{u}| \neq |\overset{⇀}{v}| แสดงว่า \cos θ \neq 0 (\cos 90 ° = 0) ดังนั้น มุมระหว่าง \overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v} และ \overset{⇀}{u} - \overset{⇀}{v} ไม่ตั้งฉากกัน ข้อ ค) ผิด$

ข้อถัดไป