ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 19

กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ $(1 + i) z - \frac{(9 - 7 i) (z - z)}{3 + i} = 6 - 2 i$ เมื่อ $i^{2} = - 1$ และ $\bar{z}$ แทนสังยุค (conjugate) ของ z พิจารณาข้อความต่อไปนี้
$(ก) |z + 8| = 2 (ข) |z + 3 i| = 10 (ค) |iz + 2| = 8$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$กำหนดให้ z = x + yi จะได้ z = x - yi จากโจทย์ (1 + i) \cdot z - \frac{(9 - 7 i) (z - z)}{3 + i} = 6 - 2 i แทน z, z; (1 + i) (x - yi) - \frac{(9 - 7 i) [(x - yi) - (x + yi)]}{3 + i} = 6 - 2 i (x - yi + xi + y) - \frac{(9 - 7 i) (- 2 yi)}{3 + i} = 6 - 2 i$

$คอนจูเกต 3 + i ด้วย 3 - i; (x + y) + (x - y) i - \frac{(9 - 7 i) (- 2 yi) (3 - i)}{(3 + i) (3 - i)} = 6 - 2 i โดย (a - bi) (a + bi) = a^{2} + b^{2};$

$(x + y) + (x - y) i - \frac{(- 2 yi) (9 - 7 i) (3 - i)}{3^{2} + 1^{2}} = 6 - 2 i (x + y) + (x - y) i + \frac{(2 yi) (20 - 30 i)}{10} = 6 - 2 i (x + y) + (x - y) i + (2 yi) (2 - 3 i) = 6 - 2 i (x + y) + (x - y) i + (4 yi + 6 y) = 6 - 2 i (x + 7 y) + (x + 3 y) i = 6 - 2 i - จะต้องมีส่วนจริงเท่ากัน และส่วนจินตภาพเท่ากัน$

$จะได้ x + 7 y = 6 \to 1 x + 3 y = - 2 \to 2 - แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ x = - 8, y = 2; จาก 1 ดังนั้น z = - 8 + 2 i พิจารณาข้อความ (ก) |z + 8| = |(- 8 + 2 i) + 8| = |2 i| = 2 ข้อ (ก) ถูก$

$(ข) |z + 3 i| = |(- 8 + 2 i) + 3 i| = |- 8 + 5 i| = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 5^{2}} = \sqrt{89} \neq 10 ข้อ (ข) ผิด (ค) |iz + 2| = |i (- 8 + 2 i) + 2| = |- 8 i - 2 + 2| = |- 8 i| = 8 ข้อ (ค) ถูก$

ข้อถัดไป