ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 20

กำหนดให้ $a_{n} = \frac{n 2^{3 n}}{3^{2 n + 1}} เมื่อ n = 1, 2, 3, . . .$ อนุกรม $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ $\frac{8}{3}$
2
อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ $4$
3
อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ $24$
4
อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ $\frac{64}{3}$
5
อนุกรมลู่ออก

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรอนุกรม S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} โดย |r| < 1 \to a จากโจทย์ a_{n} = \frac{n \cdot 2^{3 n}}{3^{2 n + 1}} n = 1 จะได้ a_{1} = \frac{1 \cdot 2^{3 (1)}}{3^{2 (1) + 1}} = \frac{1 \cdot 2^{3}}{3^{3}} n = 2 จะได้ a_{2} = \frac{2 \cdot 2^{3 (2)}}{3^{2 (2) + 1}} = \frac{2 \cdot 2^{6}}{3^{5}} n = 3 จะได้ a_{3} = \frac{3 \cdot 2^{3 (3)}}{3^{2 (3) + 1}} = \frac{3 \cdot 2^{9}}{3^{7}} n = 4 จะได้ a_{4} = \frac{4 \cdot 2^{3 (4)}}{3^{2 (4) + 1}} = \frac{4 \cdot 2^{12}}{3^{9}}$

$จาก \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + . . .; แทน a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} = \frac{1 \cdot 2^{3}}{3^{3}} + \frac{2 \cdot 2^{6}}{3^{5}} + \frac{3 \cdot 2^{9}}{3^{7}} + \frac{4 \cdot 2^{12}}{3^{9}} + . . . โดย \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S_{\infty}; กำหนดให้ S_{\infty} = \frac{1 \cdot 2^{3}}{3^{3}} + \frac{2 \cdot 2^{6}}{3^{5}} + \frac{3 \cdot 2^{9}}{3^{7}} + \frac{4 \cdot 2^{12}}{3^{9}} + . . . \to 1$

$นำ 1 \times \frac{2^{3}}{3^{2}}; \frac{2^{3}}{3^{2}} \cdot S_{\infty} = \frac{1 \cdot 2^{6}}{3^{5}} + \frac{2 \cdot 2^{9}}{3^{7}} + \frac{3 \cdot 2^{12}}{3^{9}} + \frac{4 \cdot 2^{15}}{3^{11}} + . . . \frac{8}{9} \cdot S_{\infty} = \frac{1 \cdot 2^{6}}{3^{5}} + \frac{2 \cdot 2^{9}}{3^{7}} + \frac{3 \cdot 2^{12}}{3^{9}} + \frac{4 \cdot 2^{15}}{3^{11}} + . . . \to 2 นำ 1 - 2 \frac{1}{9} \cdot S_{\infty} = \frac{1 \cdot 2^{3}}{3^{3}} + \frac{1 \cdot 2^{6}}{3^{5}} + \frac{1 \cdot 2^{9}}{3^{7}} + \frac{1 \cdot 2^{12}}{3^{9}} + . . . โดย a_{1} = \frac{1 \cdot 2^{3}}{3^{3}}, r = \frac{2^{3}}{3^{2}}; จาก a จะได้ \frac{1}{9} \cdot S_{\infty} = \frac{\frac{1 \cdot 2^{3}}{3^{3}}}{1 - \frac{2^{3}}{3^{2}}}$
$\frac{1}{9} \cdot S_{\infty} = \frac{\frac{8}{27}}{1 - \frac{8}{9}} \frac{1}{9} \cdot S_{\infty} = \frac{\frac{8}{27}}{\frac{1}{9}} \frac{1}{9} \cdot S_{\infty} = \frac{8}{3}$

$S_{\infty} = 24 จาก \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S_{\infty} ดังนั้น \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 24$

ข้อถัดไป