ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 10

กำหนดให้ $y^{2} - 2 x^{2} + 8 x - 6 = 0$ เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ให้เส้นตรง $y = \sqrt{2}$ ตัดกับเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาที่จุด $A$ และจุด $B$ เมื่อจุด B อยู่ทางขวามือของจุด $A$ และเส้นตรง $y = \sqrt{2}$ ตัดกับกราฟไฮเพอร์โบลาที่จุด $P$ และจุด $Q$ เมื่อจุด $Q$ อยู่ทางขวามือของจุด $P$ สมการของวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด $P$ และจุด $Q$ โฟกัสของวงรีอยู่ที่จุด $A$ และจุด $B$ มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$2 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 \sqrt{2} y - 4 = 0$
2
$2 x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 \sqrt{2} y + 8 = 0$
3
$x^{2} + 2 y^{2} - 4 x - 4 \sqrt{2} y + 6 = 0$
4
$x^{2} + 2 y^{2} + 4 x + 4 \sqrt{2} y + 6 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ y^{2} - 2 x^{2} + 8 x - 6 = 0 เป็นสมการไฮเพอร์โบลา จะได้ y^{2} - 2 (x^{2} - 4 x) = 6 y^{2} - 2 (x^{2} - 4 x + 4) = 6 - 2 (4) y^{2} - 2 {(x - 2)}^{2} = - 2 หารด้วย - 2 ทั้ง 2 ข้าง \frac{y^{2}}{- 2} - \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2} ดังนั้น \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

$หาสมการเส้นกำกับ ทำโดยเปลี่ยน 1 ทางขวาเป็น 0 สมการเส้นกำกับ \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{2} = 0 จากโจทย์ เส้นตรง y = \sqrt{2} ตัดกับกราฟไฮเพอร์โบลา ที่จุด P และจุด Q หาจุดตัด เส้นตรง y = \sqrt{2} กับไฮเพอร์โบลา \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{2} = 1 สมการไฮเพอร์โบลา \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{2} = 1 แทน y = \sqrt{2} ในสมการ$

$จะได้ \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{2} = 1 {(x - 2)}^{2} - 1 = 1 {(x - 2)}^{2} = 2 x - 2 = \pm \sqrt{2} x = 2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2} ดังนั้น จุด P (2 - \sqrt{2}, \sqrt{2}), จุด Q (2 + \sqrt{2}, \sqrt{2}) (จุด Q อยู่ขวามือของจุด P)$

$จากโจทย์ เส้นตรง y = \sqrt{2} ตัดกับเส้นกำกับไฮเพอร์โบลา ที่จุด A และจุด B หาจุดตัด เส้นตรง y = \sqrt{2} กับเส้นกำกับ \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{2} = 0$

$สมการเส้นกำกับ \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{2} = 0 แทน y = \sqrt{2} ในสมการ \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{2} = 0 {(x - 2)}^{2} - 1 = 0 {(x - 2)}^{2} = 1 x - 2 = \pm 1 x = 1, 3 ดังนั้น จุด A (1, \sqrt{2}), จุด B (3, \sqrt{2}) (จุด B อยู่ขวามือของจุด A)$

$จากโจทย์ สมการของวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด P และจุด Q โฟกัสของวงรีอยู่ที่จุด A และจุด B - นำจุด P, Q, A, B ที่ได้จากการคำนวณ มาวาดรูปวงรี$

$สมการวงรี \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 0 \to 1 - หาค่า h, k, a, b จากรูปวงรี จะได้ h = \frac{(2 - \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2})}{2} = 2 k = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
$a = \sqrt{2}, c = 1 โดย c^{2} = a^{2} - b^{2} b^{2} = a^{2} - c^{2}; แทน a, c b^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2} b = 1$

$จาก 1 \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 0; แทน h, k, a, b จะได้ \frac{{(x - 2)}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} + \frac{{(y - \sqrt{2})}^{2}}{1^{2}} = 0 \frac{{(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{{(y - \sqrt{2})}^{2}}{1} = 0; คูณ 2 ทั้ง 2 ข้าง (x^{2} - 4 x + 4) + 2 (y^{2} - 2 \sqrt{2} y + 2) = 2 ดังนั้น x^{2} + 2 y^{2} - 4 x - 4 \sqrt{2} y + 6 = 0$