ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{C} \mathrm{เป็นวงกลม} {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+\mathrm{Dx}+\mathrm{Ey}+\mathrm{F}=0 \\ \mathrm{มีศูนย์กลางอยู่ในควอดรันต์ที่} 1 \left({\mathrm{Q}}_1\right) \\ \mathrm{กำหนดให้} \left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right) \mathrm{เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม} \mathrm{C} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{a}>0 \mathrm{และ} \mathrm{b}>0 \left( \mathrm{เนื่องจาก} {\mathrm{Q}}_1 \right) \\ \mathrm{วงกลม} \mathrm{C} \mathrm{สัมผัสแกน} \mathrm{y} \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{วงกลมมีรัศมี} a \mathrm{หน่วย} \\ - \mathrm{ลองวาดรูปวงกลม} \mathrm{เพื่อความเข้าใจมากขึ้น} \end{gathered}$$


$$\begin{gathered} \mathrm{สูตรสมการวงกลม} {\left(\mathrm{x}-\mathrm{h}\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-\mathrm{k}\right)}^2={\mathrm{r}}^2 \\ -\mathrm{แทน} \mathrm{h}=\mathrm{a} , \mathrm{k}=\mathrm{b} , \mathrm{r}=\mathrm{a} \\ \mathrm{จะได้} {\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-\mathrm{b}\right)}^2={\mathrm{a}}^2 \\ \left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{ax}+\cancel{{\mathrm{a}}^2}\right)+\left({\mathrm{y}}^2-2\mathrm{by}+{\mathrm{b}}^2\right)=\cancel{{\mathrm{a}}^2} \\ \mathrm{ดังนั้น} {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-2\mathrm{ax}-2\mathrm{by}+{\mathrm{b}}^2=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{เปรียบเทียบ}\mathbf{ }\mathbf{ส}\mathbf{.}\mathbf{ป}\mathbf{.}\mathbf{ส}\mathbf{.} \mathrm{กับ} {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+\mathrm{Dx}+\mathrm{Ey}+\mathrm{F}=0 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{D}=-2\mathrm{a} , \mathrm{E}=-2\mathrm{b} , \mathrm{F}={\mathrm{b}}^2\to \boxed{1} \\ \mathrm{a}>0 \mathrm{จะได้} \mathrm{D} \mathrm{เป็นลบ} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{P} \mathrm{เป็นพาราโบลามีสมการ} \mathrm{Dx}={\mathrm{y}}^2+\mathrm{Ey}+\mathrm{F} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{เป็นพาราโบลาเปิดด้านซ้าย} \mathrm{เพราะ} \mathrm{D} \mathrm{เป็นลบ} \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{สูตรพาราโบลา} {\left( \mathrm{y}-\mathrm{k}\right)}^2=-4\mathrm{c}\left(\mathrm{x}-\mathrm{h}\right) \\ \mathrm{แทน} \mathrm{c}=-1 \left(\mathrm{ระยะระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ} 1 \mathrm{หน่วย}\right) \\ {\mathrm{y}}^2-2\mathrm{ky}+{\mathrm{k}}^2=-4\left(1\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{h}\right) \\ {\mathrm{y}}^2-2\mathrm{ky}+{\mathrm{k}}^2=-4\mathrm{x}+4\mathrm{h} \\ -4\mathrm{x}={\mathrm{y}}^2-2\mathrm{ky}+{\mathrm{k}}^2-4\mathrm{h} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{เปรียบเทียบ}\mathbf{ }\mathbf{ส}\mathbf{.}\mathbf{ป}\mathbf{.}\mathbf{ส}\mathbf{.} \mathrm{กับ} \mathrm{Dx}={\mathrm{y}}^2+\mathrm{Ey}+\mathrm{F} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{D}=-4 , \mathrm{E}=-2\mathrm{k} , \mathrm{F}={\mathrm{k}}^2-4\mathrm{h}\to \boxed{2} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{P} \mathrm{เป็นพาราโบลา} \mathrm{ผ่านจุด} \left(-4,-1\right) \\ \mathrm{แทน} \left(-4,-1\right) \mathrm{ในสมการพาราโบลา} \mathrm{Dx}={\mathrm{y}}^2+\mathrm{Ey}+\mathrm{F} \\ \mathrm{แทน} \mathrm{D}=-4 , \mathrm{E}=-2\mathrm{b} , \mathrm{F}={\mathrm{b}}^2 \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \left(-4\right)\left(-4\right)={\left(-1\right)}^2+\left(-2\mathrm{b}\right)\left(-1\right)+{\mathrm{b}}^2 \\ 16=1+2\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^2 \\ 0={\mathrm{b}}^2+2\mathrm{b}-15 \\ 0=\left(\mathrm{b}+5\right)\left(\mathrm{b}-3\right) \\ \mathrm{b}=-5,3 ; \mathrm{แต่} \mathrm{b}>0 \\ \mathrm{b}=3 \\ \mathrm{แทน} \mathrm{b}=3 \mathrm{ใน} \boxed{1} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{E}=-2\mathrm{b}=-2\left(3\right) \mathrm{F}={\mathrm{b}}^2=3^2 \\ \mathrm{E}=-6 \mathrm{F}=9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{ก}\right) \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} {\mathrm{D}}^2+{\mathrm{E}}^2+{\mathrm{F}}^2={\left(-4\right)}^2+{\left(-6\right)}^2+9^2 \\ = 133 \mathrm{ข้อ} \left(\mathrm{ก}\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{ข}\right) \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{เส้นตรง} 4\mathrm{x}+3\mathrm{y}-7=0 \mathrm{สัมผัสกับวงกลม} \mathrm{C} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{D}=-2\mathrm{a} \\ -4=-2\mathrm{a} \\ \mathrm{a}=2 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{จุดศูนย์กลางวงกลม}=\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\left(2,3\right) , \mathrm{รัศมี} \left(\mathrm{a}\right)=2 \\ -\mathrm{โดยเส้นตรงจะสัมผัสวงกลม} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{เมื่อระยะจากศูนย์กลางไปเส้นตรง}=\mathrm{รัศมี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{ระยะจากจุด} \left({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0\right) \mathrm{ไปยังเส้นตรง} {\mathrm{Ax}}_0+{\mathrm{By}}_0+\mathrm{C}=0 \\ \mathrm{เท่ากับ} \mathrm{d}=\frac{\left|{\mathrm{Ax}}_0+{\mathrm{By}}_0+\mathrm{C}\right|}{\sqrt{{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{B}}^2}} \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \mathrm{ระยะจากจุด} \left(2,3\right) \mathrm{ไปยังเส้นตรง} 4\mathrm{x}+3\mathrm{y}-7=0 \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{เท่ากับ} \mathrm{d}=\frac{\left|4\left(2\right)+3\left(3\right)-7\right|}{\sqrt{4^2+3^2}} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\frac{10}{5}=2 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{เส้นตรง} 4\mathrm{x}+3\mathrm{y}-7=0 \mathrm{สัมผัสกับวงกลม} \mathrm{C} \\ \mathrm{เนื่องจาก} \mathrm{ระยะจากศูนย์กลางไปเส้นตรง} =\mathrm{รัศมี} \\ \mathrm{ข้อ} \left(\mathrm{ข}\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$