ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 12

กำหนดให้ $A B C$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ด้าน $A B$ ยาว 5 หน่วย ด้าน $B C$ ยาว 12 หน่วย และมุม $A \hat{B} C$ เท่ากับ $60 °$ ถ้าเวกเตอร์ $\bar{u} = \bar{A B}$ เวกเตอร์ $\bar{v} = \bar{B C}$ และเวกเตอร์ $\bar{w} = \bar{C A}$ แล้ว $(2 \bar{u} - \bar{v}) \cdot \bar{w}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
64
2
109
3
114
4
124

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \bar{u} = \bar{AB} |\bar{u}| = 5 \bar{v} = \bar{BC} |\bar{v}| = 12 วาดรูปสามเหลี่ยม ABC$

$จากโจทย์ \bar{w} = \bar{CA} = \bar{CB} + \bar{BA} = - \bar{BC} + - \bar{AB}; แทน \bar{u} = \bar{AB}, \bar{v} = \bar{BC} = - \bar{v} + (- \bar{u}) = - \bar{v} - \bar{u}$

$หาค่าของ (2 \bar{u} - \bar{v}) \cdot \bar{w}; แทน \bar{w} = - \bar{v} - \bar{u} จะได้ (2 \bar{u} - \bar{v}) \cdot \bar{w} = (2 \bar{u} - \bar{v}) \cdot (- \bar{v} - \bar{u}) dot กระจาย = - 2 \bar{u} \cdot \bar{v} - 2 \bar{u} \cdot \bar{u} + \bar{v} \cdot \bar{v} + \bar{v} \cdot \bar{u} โดย \bar{v} \cdot \bar{u} = \bar{u} \cdot \bar{v}, \bar{u} \cdot \bar{u} = {|\bar{u}|}^{2}, \bar{v} \cdot \bar{v} = {|\overset{⇀}{v}|}^{2}$
$= - 2 \bar{u} \cdot \bar{v} - 2 {|\bar{u}|}^{2} + {|\bar{v}|}^{2} + \bar{u} \cdot \bar{v} = - \bar{u} \cdot \bar{v} - 2 {|\bar{u}|}^{2} + {|\bar{v}|}^{2} สูตร \bar{u} \cdot \bar{v} = |\bar{u}| |\bar{v}| cosθ = - |\bar{u}| |\bar{v}| cosθ - 2 {|\bar{u}|}^{2} + {|\bar{v}|}^{2} θ เป็นมุมที่ u ทำกับ v (หางต่อหาง ดูรูปภาพประกอบ)$

$- แทน |\bar{u}| = 5, |\bar{v}| = 12, θ = 120 ° ดังนั้น (2 \bar{u} - \bar{v}) \cdot \bar{w} = - (5) (12) (- \frac{1}{2}) - 2 {(5)}^{2} + {(12)}^{2} = 30 - 50 + 144 = 124$