ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 13

ให้ $A$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประพจน์ $\forall x [2 x^{2} + x - 3 \leq 0$ และ $|x - 2| \leq 3]$ มีค่าความจริงเป็นจริง และให้ $B$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ $6 x^{- 2} - 5 x^{- 1} - 1 > 0$ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
$A \subset B$
2
$A - B$ มีสมาชิก 2 ตัว
3
$(A - B) \cup (B - A) = (- 6, 1)$
4
$(- 6, 0) \subset (B - A)$

เฉลยข้อสอบ

$หา A จากโจทย์ 2 x^{2} + x - 3 \leq 0 และ |x - 2| \leq 3 (2 x + 3) (x - 1) \leq 0 - 3 \leq x - 2 \leq 3 - 1 \leq x \leq 5$

$x \in [- \frac{3}{2}, 1] x \in [- 1, 5]$

$จะได้ A = [- \frac{3}{2}, 1] \cap [- 1, 5] A = [- 1, 1]$

$หา B จากโจทย์ 6 x^{- 2} - 5 x^{- 1} - 1 > 0 x^{- 2} = \frac{1}{x^{2}}, x^{- 1} = \frac{1}{x}; \frac{6}{x^{2}} - \frac{5}{x} - 1 > 0; x \neq 0 ทำส่วนให้เท่ากัน; \frac{6 - 5 x - x^{2}}{x^{2}} > 0 นำ - 1 คูณตลอด; \frac{x^{2} + 5 x - 6}{x^{2}} < 0 \frac{(x + 6) (x - 1)}{x^{2}} < 0 นำ x^{4} คูณตลอด; x^{2} (x + 6) (x - 1) < 0 พิจาราณา x^{2} ซึ่ง x^{2} \geq 0 เสมอ นั่นคือมีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้นสามารถหาร x^{2} ออกทั้งสองข้างของสมการได้เลย แต่ x^{2} มีโอกาสทำให้อสมการเป็นเท็จได้เมื่อ x = 0 ดังนั้น x \neq 0 นั่นคือ (x + 6) (x - 1) < 0; x \neq 0$
$จะได้ B = (- 6, 0) \cup (0, 1)$

$พิจารณาตัวเลือก 1 . A \subset B = [- 1, 1] \subset [(- 6, 0) \cup (0, 1)] ผิด เพราะ B ไม่มี 0 2 . A - B = [- 1, 1] - [(- 6, 0) \cup (0, 1)] = \{0, 1\} ถูก เพราะ มีสมาชิก 2 ตัว$

$3 . (A - B) \cup (B - A) = \{0, 1\} \cup (- 6, - 1) ผิด เพราะ ไม่เท่ากับ (- 6, - 1) 4 . (- 6, 0) \subset (B - A) = (- 6, 0) \subset (- 6, - 1) ผิด$