ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 14

ถ้า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกและสอดคล้องกับสมการ $2 \log_{2} (x - 2 y) + \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y = 0$ แล้ว $(\frac{x}{y})^{2} + 1$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
2
2
5
3
10
4
17

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตร \log 1 . \log m + \log n = \log mn 2 . \log m - \log n = \log (\frac{m}{n}) 3 . \log_{n^{b}} m^{a} = (\frac{a}{b}) \log_{n} m 4 . \log_{n} m = a \to m = n^{a}$

$จากโจทย์ 2 \log_{2} (x - 2 y) + \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y = 0 \to 1 - เงื่อนไข ข้างใน \log ต้องมีค่า > 0 เสมอ จะได้ x - 2 y > 0 และ x > 0 และ y > 0 x > 2 y และ x > 0 และ y > 0$

$จาก 1 พยายามทำฐาน \log ทุกตัวให้เท่ากัน จะได้ \log_{2} {(x - 2 y)}^{2} + \log_{2^{- 1}} x + \log_{2^{- 1}} y = 0 \log_{2} {(x - 2 y)}^{2} - \log_{2} x - \log_{2} y = 0 \log_{2} \frac{{(x - 2 y)}^{2}}{xy} = 0 \frac{{(x - 2 y)}^{2}}{xy} = 2^{0} = 1 {(x - 2 y)}^{2} = xy x^{2} - 4 xy + 4 y^{2} = xy$
$x^{2} - 5 xy + 4 y^{2} = 0 (x - y) (x - 4 y) = 0 จะได้ x - y = 0 หรือ x - 4 y = 0 x = y x = 4 y ใช้ไม่ได้ เพราะ x > 2 y ดังนั้น x = 4 y$

$หาค่าของ {(\frac{x}{y})}^{2} + 1 = {(\frac{4 y}{y})}^{2} + 1 แทนค่า x = 4 y; = 4^{2} + 1 = 17$