ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 22

นิยาม จำนวนสามหลักลด คือ จำนวน $A B C$ โดยที่ $A, B, C \in {0, 1, . . ., 9}$ และ $A > B > C$ จำนวนวิธีสร้างจำนวนสามหลักลด ที่มีค่ามากกว่า 500 มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
119
2
117
3
114
4
110

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ หาจำนวนวิธีสร้างจำนวนสามหลักลด ที่มีค่ามากกว่า 500 มีจำนวนทั้งหมดเท่าใด จำนวนสามหลักลดที่มีค่ามากกว่า 500 = จำนวนสามหลักลดทั้งหมด - จำนวนสามหลักลดที่ไม่เกิน 500 \to 1 (น้อยกว่า หรือ เท่ากับ 500)$

$หาจำนวนสามหลักลดทั้งหมด เลือก 3 ตัวจาก 0, 1, 2, . . ., 9 (10 ตัว) เอาตัวมากเป็นหลักร้อย ตัวกลางเป็นหลักสิบ ตัวน้อยหลักหน่วย จะได้ C_{10, 3} = (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{10!}{7! 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2} = 120 วิธี$

$หาจำนวนสามหลักลดที่ไม่เกิน 500 เลือก 3 ตัวจาก 0, 1, 2, 3, 4 (5 ตัว) เอาตัวมากเป็นหลักร้อย ตัวกลางเป็นหลักสิบ ตัวน้อยหลักหน่วย จะได้ C_{5, 3} = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5!}{2! 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 วิธี จาก 1 จำนวนวิธีสร้างจำนวนสามหลักลด ที่มีค่ามากกว่า 500 = 120 - 10 = 110 วิธี$

$วิธีที่ 2 (วิธีเต็ม) จำนวนสามหลักลดที่มีค่ามากกว่า 500 ทั้งหมด 5 กรณี คือ กรณีที่ 1 : หลักร้อยเป็นเลข 5 1 . 5 4 ? มีได้ทั้งหมด 4 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3) 2 . 5 3 ? มีได้ทั้งหมด 3 วิธี (? = เลข 0, 1, 2) 3 . 5 2 ? มีได้ทั้งหมด 2 วิธี (? = เลข 0, 1) 4 . 5 1 ? มีได้ทั้งหมด 1 วิธี (? = เลข 0) รวม 10 วิธี$

$กรณีที่ 2 : หลักร้อยเป็นเลข 6 1 . 6 5 ? มีได้ทั้งหมด 5 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4) 2 . 6 4 ? มีได้ทั้งหมด 4 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3) 3 . 6 3 ? มีได้ทั้งหมด 3 วิธี (? = เลข 0, 1, 2) 4 . 6 2 ? มีได้ทั้งหมด 2 วิธี (? = เลข 0, 1) 5 . 6 1 ? มีได้ทั้งหมด 1 วิธี (? = เลข 0) รวม 15 วิธี$

$กรณีที่ 3 : หลักร้อยเป็นเลข 7 1 . 7 6 ? มีได้ทั้งหมด 6 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5) 2 . 7 5 ? มีได้ทั้งหมด 5 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4) 3 . 7 4 ? มีได้ทั้งหมด 4 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3) 4 . 7 3 ? มีได้ทั้งหมด 3 วิธี (? = เลข 0, 1, 2) 5 . 7 2 ? มีได้ทั้งหมด 2 วิธี (? = เลข 0, 1) 6 . 7 1 ? มีได้ทั้งหมด 1 วิธี (? = เลข 0) รวม 21 วิธี$

$กรณีที่ 4 : หลักร้อยเป็นเลข 8 1 . 8 7 ? มีได้ทั้งหมด 7 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) 2 . 8 6 ? มีได้ทั้งหมด 6 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5) 3 . 8 5 ? มีได้ทั้งหมด 5 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4) 4 . 8 4 ? มีได้ทั้งหมด 4 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3) 5 . 8 3 ? มีได้ทั้งหมด 3 วิธี (? = เลข 0, 1, 2) 6 . 8 2 ? มีได้ทั้งหมด 2 วิธี (? = เลข 0, 1) 7 . 8 1 ? มีได้ทั้งหมด 1 วิธี (? = เลข 0) รวม 28 วิธี$

$กรณีที่ 5 : หลักร้อยเป็นเลข 9 1 . 9 8 ? มีได้ทั้งหมด 8 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 2 . 9 7 ? มีได้ทั้งหมด 7 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) 3 . 9 6 ? มีได้ทั้งหมด 6 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5) 4 . 9 5 ? มีได้ทั้งหมด 5 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3, 4) 5 . 9 4 ? มีได้ทั้งหมด 4 วิธี (? = เลข 0, 1, 2, 3) 6 . 9 3 ? มีได้ทั้งหมด 3 วิธี (? = เลข 0, 1, 2) 7 . 9 2 ? มีได้ทั้งหมด 2 วิธี (? = เลข 0, 1) 8 . 9 1 ? มีได้ทั้งหมด 1 วิธี (? = เลข 0) รวม 36 วิธี$

$ดังนั้น จำนวนสามหลักลดที่มีค่ามากกว่า 500 ทั้งหมด = 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 110 วิธี$