ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

ข้อ 30

กำหนดให้ A, Bและ C เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix) มิติ $3 \times 3$ และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณ มิติ $3 \times 3$

ถ้า $A = [\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}]$ เมื่อ $a, b, c, d, e, f, g, h$ และ $i$ เป็นจำนวนจริง และ $A^{3} = 2 I, \det (C^{- 1}) = 4$ และ $B^{t} C = [\begin{matrix} - 3 g & - 3 h & - 3 i \\ - a & - b & - c \\ 2 d & 2 e & 2 f \end{matrix}]$ แล้ว $d e t (B)$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ A^{3} = 2 I จะได้ \det (A^{3}) = \det (2 I) {(\det A)}^{3} = 2^{3} \det I \det A = 2 จากโจทย์ B^{t} C = [\begin{matrix} - 3 g & - 3 h & - 3 i \\ - a & - b & - c \\ 2 d & 2 e & 2 f \end{matrix}]$
$แสดงว่า \det [\begin{matrix} - 3 g & - 3 h & - 3 i \\ - a & - b & - c \\ 2 d & 2 e & 2 f \end{matrix}]; ดึงตัวเลขแต่ละแถวออก = (- 3) (- 1) (- 2) \det [\begin{matrix} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & 𝑓 \end{matrix}]; สลับ 2 แถว คูณ - 1 = 6 (- 1) \det [\begin{matrix} a & b & c \\ g & h & i \\ d & e & 𝑓 \end{matrix}]; สลับ 2 แถว คูณ - 1 = (- 6) (- 1) \det [\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & 𝑓 \\ g & h & i \end{matrix}]$
$= 6 \det A; \det A = 2 = 6 (2) = 12 ดังนั้น \det [\begin{matrix} - 3 g & - 3 h & - 3 i \\ - a & - b & - c \\ 2 d & 2 e & 2 f \end{matrix}] = 12 \to 1 จากโจทย์ \det (C^{- 1}) = 4 จะได้ \det C = \frac{1}{4}$

$จากโจทย์ B^{t} C = [\begin{matrix} - 3 g & - 3 h & - 3 i \\ - a & - b & - c \\ 2 d & 2 e & 2 f \end{matrix}] take \det ทั้ง 2 ข้าง จะได้ \det (B^{t} C) = \det [\begin{matrix} - 3 g & - 3 h & - 3 i \\ - a & - b & - c \\ 2 d & 2 e & 2 f \end{matrix}] จาก 1 จะได้ \det B^{t} \det C = 12; \det C = \frac{1}{4} \det B (\frac{1}{4}) = 12 \det B = 48$