ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 3

กำหนดให้ $P (x)$ แทน $|\frac{x - 2}{x + 2}| < 2$ และให้ $Q (x)$ แทน $|2 x + 1| > x - 1$

เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดต่อไปนี้ที่ทำให้ $\forall x [Q (x)] \Rightarrow \exists x [P (x)]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

1
$(- \infty, - 4)$
2
$(- 5, - 1)$
3
$(- 3, 2)$
4
$(- 1, \infty)$

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม เมื่อ |x| > A จะได้ว่า x < - A \cup x > A จากโจทย์ ให้ \forall x [Q (x)] \to \exists x [P (x)] เป็นเท็จ แสดงว่า ประพจน์ดังกล่าว จะเป็นเท็จเมื่อ T \to F$

$พิจารณา Q (x) จากโจทย์ |2 x + 1| > x - 1 จะได้ 2 x + 1 < - (x - 1) หรือ 2 x + 1 > x - 1 3 x < 0 \cup x > - 2 x < 0 \cup นำมาเขียนเส้นจำนวน$

ดังนั้น x = R
แสดงว่า จำนวนจริงทุกจำนวนทำให้ประพจน์ด้านล่างนี้

$\forall x [|2 x + 1| > x - 1] = \forall x [Q (x)] มีค่าความจริงเป็น T เสมอ$

$พิจารณา P (x) จากโจทย์ |\frac{x - 2}{x + 2}| < 2; x \neq - 2 จะได้ |x - 2| < 2 |x + 2| {(2 |x + 2|)}^{2} > {(|x - 2|)}^{2} {[2 (x + 2)]}^{2} - {[(x - 2)]}^{2} > 0 [2 (x + 2) - (x - 2)] [2 (x + 2) + (x - 2)] > 0$
$(x + 6) (3 x + 2) > 0; x \neq - 2 นำมาเขียนเส้นจำนวน$

$แสดงว่า x = (- \infty, - 6) \cup (- \frac{2}{3}, \infty) ดังนั้น จากตัวเลือกทั้ง 4 ของโจทย์ เลือกช่วง (- 5, - 1) จะทำให้ P (x) มีค่าความจริงเป็น F ดังนั้น ตอบ 2 . (- 5, - 1)$