ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 20

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริง โดยที่ $\sum_{n = 1}^{25} a_{n} = 1900$ และ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{4^{n - 1}} = 8$ ค่าของ $a_{100}$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
298
2
302
3
400
4
499
5
598

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร - ลำดับเลขคณิต a_{n} = a_{1} + (n - 1) d โดย d = ผลต่างร่วม - สูตร 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} - ผลบวกอนุกรมอนันต์ S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} โดย |r| < 1$

$จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{25} a_{n} = 1900 จะได้ a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{25} = 1900 a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + \dots + (a_{1} + 24 d) = 1900 25 a_{1} + (1 + 2 + \dots + 24) d = 1900 25 a_{1} + \frac{24 (25)}{2} d = 1900 25 a_{1} + 300 d = 1900 a_{1} + 12 d = 76 \to *$

$จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{4^{n - 1}} = 8 จะได้ \frac{a_{1}}{1} + \frac{a_{2}}{4} + \frac{a_{3}}{4^{2}} + \frac{a_{4}}{4^{3}} + \dots = 8 \to 1 นำ 1 \times \frac{1}{4}; \frac{a_{1}}{4} + \frac{a_{2}}{4^{2}} + \frac{a_{3}}{4^{3}} + \frac{a_{4}}{4^{4}} + \dots = 2 \to 2 นำ 1 - 2; \frac{a_{1}}{1} + \frac{1}{4} (a_{2} - a_{1}) + \frac{1}{4^{2}} (a_{3} - a_{2}) + \dots = 6$
$a_{1} + \frac{1}{4^{1}} d + \frac{1}{4^{2}} d + \frac{1}{4^{3}} d + \dots = 6 a_{1} + \frac{d}{4} (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \dots) = 6 a_{1} + \frac{d}{4} (\frac{1}{1 - \frac{1}{4}}) = 6 a_{1} + \frac{d}{3} = 6 \to * *$

$นำ * - * * 12 d - \frac{d}{3} = 70 \frac{35 d}{3} = 70 d = 6 จาก * จะได้ a_{1} = 4 ดังนั้น a_{100} = a_{1} + 99 d = 4 + 99 (6) = 4 + 594 = 598 ดังนั้น ตอบ 5) 598$