ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2564

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \hspace{0.17em}\mathrm{พาราโบลามีโฟกัสอยู่ที่จุด} \left(8, 1\right) \mathrm{และ} x=10 \mathrm{เป็นเส้นไดเรกตริกซ์} \\ \mathrm{จะได้} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} F\left(8, 1\right) , \mathrm{ไดเรกตริกซ์} x=10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \mathrm{จุดยอด} \left(V\right) = \left(\frac{8+10}{2} , 1\right) \\ V = \left(9, 1\right) \\ \mathrm{โดย} \mathrm{ค่าคงที่} \left(C\right) = 8-9 \\ C = -1 ( \mathrm{ติดลบเพราะพาราโบลาเปิดซ้าย} ) \\ \mathrm{สูตรพาราโบลา} (\mathrm{แกนสมมาตรขนานแกน} x) \mathrm{คือ} \\ {\left(y-k\right)}^2 = 4c\left(x-h\right) \to \overline{)1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \left(h, k\right) = V = \left(9, 1\right) , c=1 \mathrm{แทนใน} \overline{)1} \\ \mathrm{จาก} \overline{)1} {\left(y-k\right)}^2 = 4c\left(x-h\right) \\ {\left(y-1\right)}^2 = 4\left(-1\right)\left(x-9\right) \\ {\left(y-1\right)}^2 = -4\left(x-9\right) \to \overline{)2} \\ \mathrm{จากโจทย์} P_1 \mathrm{และ} P_2 \mathrm{เป็นจุดตัดของพาราโบลากับแกน} Y \\ -\mathrm{หาจุดตัดกับแกน} Y \to \mathrm{แทน} x=0 \\ \mathrm{แทน} x=0 \mathrm{ใน} \overline{)2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} {\left(y-1\right)}^2 = -4\left(0-9\right) \\ {\left(y-1\right)}^2 = 36 \\ y-1 = 6 , -6 \\ y = 6+1 , -6+1 \\ y = 7 , -5 \\ \mathrm{แสดงว่า} P_1 = \left(0, 7\right) \mathrm{และ} P_2 = \left(0, -5\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} E \mathrm{เป็นวงรีที่ผ่านจุด} \left(8, 1\right) \mathrm{และมีโฟกัสอยู่ที่จุด} P_1 , P_2 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{วงรี} E ; F_1 = P_1 = \left(0, 7\right) , F_2 = P_2 = \left(0, -5\right) \\ \mathrm{จุดยอด} = V_1 = \left(0, \frac{7+\left(-5\right)}{2}\right) = \left(0, 1\right) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} b = 8-0 = 8 \\ c = 7-1 = 6 \\ \mathrm{โดย} c^2 = a^2-b^2 \\ 6^2 = a^2-8^2 \\ a = 10 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ความยาวแกนเอกของวงรี} E = 2a = 2\left(10\right) \\ = 20 \end{gathered}$$