ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 41

กำหนดให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง และ $a, b$ เป็นจำนวนจริง และให้ $𝑓 : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย

$𝑓 (x) = a + b x + x^{3}$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ ถ้าเส้นตรง $5 x - y + 13 = 0$ สัมผัสกราฟของ $𝑓$ ที่ $x = 1$

แล้ว $\int_{0}^{2} 𝑓 (x) d x$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = a + bx + x^{3} ถ้าเส้นตรง 5 x - y + 13 = 0 สัมผัสกราฟของ f ที่ x = 1 แสดงว่า x = 1 ความชันของเส้นตรง L = ความชันของ f (x) ความชันของเส้นตรง L = f' (1) \to 1$

$หาความชัน ของเส้นตรง L 5 x - y + 13 = 0 y = 5 x + 13 - จากสมการเส้นตรง y = mx + c จะได้ความชันเส้นตรง L \to m = 5$

$หาความชันของ f (x) ที่ x = 1 \to f' (x) จาก f (x) = a + bx + x^{3} จะได้ f' (x) = b + 3 x^{2} f' (1) = b + 3 {(1)}^{2} f' (1) = b + 3 จาก 1 จะได้ 5 = b + 3 b = 2 จะได้ f (x) = a + 2 x + x^{3}$

$จากโจทย์ ถ้าเส้นตรง 5 x - y + 13 = 0 สัมผัสกราฟของ f ที่ x = 1 แสดงว่า เส้นตรง L และกราฟ f ผ่านจุด (1, y) เดียวกัน แทน x = 1 ในเส้นตรง L จะได้ 5 (1) - y + 13 = 0 y = 18 ดังนั้น จุด (1, y) = (1, 18)$

$แทน x = 1, y = 18 ใน f (x) จะได้ f (1) = 18 a + 2 (1) + 1^{3} = 18 a = 16 จะได้ f (x) = 15 + 2 x + x^{3}$

$ดังนั้น \int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{2} (15 + 2 x + x^{3}) d x = {(15 x + x^{2} + \frac{x^{4}}{4})}_{x = 0}^{x = 2} = 30 + 4 + \frac{16}{4} = 38$