ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 17

ให้ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง ถ้ากราฟของ $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ผ่านจุด $(0, 1), (1, 3)$ และจุด $(2, 2)$ แล้วพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $y = f (x)$ และเส้นตรง $y = x$ จาก $x = 0$ ถึง $x = 2$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{5}{2}$ ตารางหน่วย
2
$\frac{8}{3}$ ตารางหน่วย
3
$3$ ตารางหน่วย
4
$\frac{7}{2}$ ตารางหน่วย
5
$5$ ตารางหน่วย

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรพาราโบลา y = a x^{2} + b x + c จะได้ h = - \frac{b}{a}, k = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$

$จากโจทย์ f (x) = a x^{2} + b x + c \to A ผ่านจุด (0, 1), (1, 3) และจุด (2, 2) หาค่า a, b, c โดยแทนค่า x, y ในสมการ f (x) จะได้ ผ่านจุด (0, 1) \to f (0) = a {(0)}^{2} + b (0) + c; f (0) = 1 1 = c c = 1$
$ผ่านจุด (1, 3) \to f (1) = a {(1)}^{2} + b (1) + c; f (1) = 3, c = 1 3 = a + b + 1 a + b = 2 \to 1 ผ่านจุด (2, 2) \to f (2) = a {(2)}^{2} + b (2) + c; f (2) = 2, c = 1 2 = 4 a + 2 b + 1 4 a + 2 b = 1 \to 2 จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร$
$จะได้ a = \frac{- 3}{2}, b = \frac{7}{2} แทนค่า a, b, c ใน A จะได้ f (x) = \frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{7}{2} x + 1$

$หา (h, k) ของ f (x) จะได้ h = - \frac{b}{2 a} = - \frac{\frac{7}{2}}{2 (\frac{- 3}{2})} = \frac{7}{6} > 0 k = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = \frac{4 (\frac{- 3}{2}) (1) - {(\frac{7}{2})}^{2}}{4 (\frac{- 3}{2})} = \frac{- 6 - \frac{49}{4}}{- 6} = \frac{6 + \frac{49}{4}}{6} > 0 ดังนั้น จุดยอด (h, k) อยู่ควอดรันต์ที่ 1 เนื่องจาก h > 0 และ k > 0$

$จากโจทย์ พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = f (x) และเส้นตรง y = x จาก x = 0 ถึง x = 2 - วาดกราฟ f (x), เส้นตรง y = x$

$หาจุดตัด y = f (x) กับเส้นตรง y = x จะได้ y = y x = \frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{7}{2} x + 1 2 x = - 3 x^{2} + 7 x + 2 3 x^{2} - 5 x - 2 = 0 (3 x + 1) (x - 2) = 0 x = - \frac{1}{3}, 2 - วาดกราฟ เพื่อหาช่วงอินทิเกรต$

$ดังนั้น พื้นที่ปิดล้อม (A) = \int_{0}^{2} (y_{2} - y_{1}) d x กราฟเส้นบน - กราฟเส้นล่าง; A = \int_{0}^{2} [f (x) - x] d x A = \int_{0}^{2} [(\frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{7}{2} x + 1) - x] d x = \int_{0}^{2} (\frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{5}{2} x + 1) d x A = {\frac{\frac{- 3}{2} x^{3}}{3} + \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{2} + x}_{0}^{2} = {- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{5}{4} x^{2} + x}_{0}^{2} A = [- \frac{1}{2} {(2)}^{3} + \frac{5}{4} {(2)}^{2} + 2] - (0 + 0 + 0) A = 3$