ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 15

วงกลม $x^{2} - 70 x + y^{2} + 10 y - 144 = 0$ มีจุดตัดแกน $X$ จุดหนึ่งที่ $A (a, 0)$ ซึ่ง $a < 0$ และมีจุดตัดแกน $Y$ จุดหนึ่งที่ $B (0, b)$ ซึ่ง $b > 0$ ถ้า $L$ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้ และขนานกับเส้นตรงที่ผ่านจุด $A$ และจุด $B$ แล้วเส้นตรง $L$ ตัดแกน $X$ ที่จุดใด

1
$(- \frac{145}{4}, 0)$
2
$(- \frac{135}{4}, 0)$
3
$(55, 0)$
4
$(\frac{135}{4}, 0)$
5
$(\frac{145}{4}, 0)$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$S t e p 1; จากโจทย์วงกลมมีสมการ x^{2} - 70 x + y^{2} + 10 y = 144 x^{2} - 70 x + 35^{2} + y^{2} + 10 y + 5^{2} = 144 + 35^{2} + 5^{2} จัดรูปได้เป็น {(x - 35)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 1394$

$S t e p 2; หาจุดตัดแกน X ได้ด้วยการแทน y = 0 จะได้ {(x - 35)}^{2} + {(5)}^{2} = 1394 {(x - 35)}^{2} = 1369 \sqrt{{(x - 35)}^{2}} = 37 |x - 35| = 37$

$จะสรุปได้ว่า x = - 2 หรือ x = 72 แต่โจทย์บอกว่าจุดตัดแกน X ตัดที่ A (a, 0) ซึ่ง a < 0 ดังนั้น A (a, 0) คือจุด (- 2, 0)$

$S t e p 3; หาจุดตัดแกน Y ได้ด้วยการแทน x = 0 จะได้ {(- 35)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 1394 {(y + 5)}^{2} = 169 \sqrt{{(y + 5)}^{2}} = 13 |{(y + 5)}^{2}| = 13$

$จะสรุปได้ว่า y = - 18 หรือ 8 แต่โจทย์บอกว่าจุดตัดแกน Y ตัดที่ B (0, b) ซึ่ง b > 0 ดังนั้น B (b, 0) คือจุด (0, 8)$

$S t e p 4; โจทย์บอกว่า L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมนี้ และขนานกับเส้นตรงที่ผ่านจุด A และ B จากสมการที่จัดรูปแล้ว จุดศูนย์กลางวงกลมคือ (35, - 5) ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด A และ B หาได้จาก m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{8 - 0}{0 - (- 2)} = 4$

$จะหาสมการเส้นตรง L ได้จาก y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - (- 5) = 4 (x - 35) สมการเส้นตรง L คือ y + 5 = 4 (x - 35)$

$S t e p 5; หาจุดตัดแกน X จากการแทน y = 0 จะได้ 5 = 4 (x - 35) 5 = 4 x - 140 x = \frac{145}{4} ดังนั้นจะได้ว่าเส้นตรง L ตัดแกน X ที่จุด (\frac{145}{4}, 0)$