ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565

$เซต S จากนิยามของไฮเพอร์โบลา$

$|P F_{1} - P F_{2}| = 2 a เมื่อ a คือระยะจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอด เมื่อเปรียบเทียบกับ |P A - P B| = 10 จะได้ว่า จุด A (- 25, 0) และจุด B (25, 0) เป็นจุดโฟกัสไฮเพอร์โบลา และจะได้ 2 a = 10 ดังนั้น a = 5$

$จะได้ว่าจุดศูนย์กลาง คือ (h, k) = (\frac{- 25 + 25}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (0, 0) และทำให้ทราบว่าระยะศูนย์กลางถึงจุดโฟกัสมีค่าคือ c = 25 จากนิยามไฮเพอร์โบลา c^{2} = a^{2} + b^{2} จะได้ {(25)}^{2} = {(5)}^{2} + b^{2} 625 = 25 + b^{2} b^{2} = 600$

$สมกาารไฮเพอร์โบลา คือ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ดังนั้น \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{600} = 1 เซต T จากนิยามของวงรี Q F_{1} + Q F_{2} = 2 a$

$เมื่อเปรียบเทียบกับ Q A + Q B = 70 จะได้ว่า จุด A (- 25, 0) และจุด B (25, 0) เป็นจุดโฟกัสวงรี และจะได้ 2 a = 70 ดังนั้น a = 35$

$จะได้ว่าจุดศูนย์กลาง คือ (h, k) = (\frac{- 25 + 25}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (0, 0) และทำให้ทราบว่าระยะศูนย์กลางถึงจุดโฟกัสมีค่า คือ c = 25 จากนิยามของวงรี a^{2} = b^{2} + c^{2} จะได้ {(35)}^{2} = b^{2} + {(25)}^{2} b^{2} = 600$

$ได้สมการวงรีคือ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ดังนั้น \frac{x^{2}}{1225} + \frac{y^{2}}{600} = 1 เซต S \cap T โจทย์ต้องการจุดที่อยู่ใน S \cap T ซึ่งหมายถึงจุดตัดของไฮเพอร์โบลากับวงรี$

$จากที่ทำมาด้านบนเราทราบว่า สมการไฮเพอร์โบลา คือ \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{600} = 1 \to 1 สมการวงรี คือ \frac{x^{2}}{1225} + \frac{y^{2}}{600} = 1 \to 2$