ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 16

ให้จุด $A$ มีพิกัดเป็น $(- 25, 0)$ และจุด $B$ มีพิกัดเป็น $(25, 0)$

ถ้า $S$ คือเซตของจุด $P$ ทั้งหมดในระบบพิกัดฉากสองมิติ โดยที่ $|P A - P B| = 10$

$T$ คือเซตของจุด $Q$ ทั้งหมดในระบบพิกัดฉากสองมิติ โดยที่ $Q A + Q B = 70$

และรูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีจุดยอดทั้งหมดอยู่ในเซต $S \cap T$ แล้วเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้ยาวกี่หน่วย

1
$62$
2
$70$
3
$76$
4
$124$
5
$140$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$เซต S จากนิยามของไฮเพอร์โบลา$

$|P F_{1} - P F_{2}| = 2 a เมื่อ a คือระยะจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอด เมื่อเปรียบเทียบกับ |P A - P B| = 10 จะได้ว่า จุด A (- 25, 0) และจุด B (25, 0) เป็นจุดโฟกัสไฮเพอร์โบลา และจะได้ 2 a = 10 ดังนั้น a = 5$

$จะได้ว่าจุดศูนย์กลาง คือ (h, k) = (\frac{- 25 + 25}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (0, 0) และทำให้ทราบว่าระยะศูนย์กลางถึงจุดโฟกัสมีค่าคือ c = 25 จากนิยามไฮเพอร์โบลา c^{2} = a^{2} + b^{2} จะได้ {(25)}^{2} = {(5)}^{2} + b^{2} 625 = 25 + b^{2} b^{2} = 600$

$สมกาารไฮเพอร์โบลา คือ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ดังนั้น \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{600} = 1 เซต T จากนิยามของวงรี Q F_{1} + Q F_{2} = 2 a$

$เมื่อเปรียบเทียบกับ Q A + Q B = 70 จะได้ว่า จุด A (- 25, 0) และจุด B (25, 0) เป็นจุดโฟกัสวงรี และจะได้ 2 a = 70 ดังนั้น a = 35$

$จะได้ว่าจุดศูนย์กลาง คือ (h, k) = (\frac{- 25 + 25}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (0, 0) และทำให้ทราบว่าระยะศูนย์กลางถึงจุดโฟกัสมีค่า คือ c = 25 จากนิยามของวงรี a^{2} = b^{2} + c^{2} จะได้ {(35)}^{2} = b^{2} + {(25)}^{2} b^{2} = 600$

$ได้สมการวงรีคือ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ดังนั้น \frac{x^{2}}{1225} + \frac{y^{2}}{600} = 1 เซต S \cap T โจทย์ต้องการจุดที่อยู่ใน S \cap T ซึ่งหมายถึงจุดตัดของไฮเพอร์โบลากับวงรี$

$จากที่ทำมาด้านบนเราทราบว่า สมการไฮเพอร์โบลา คือ \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{600} = 1 \to 1 สมการวงรี คือ \frac{x^{2}}{1225} + \frac{y^{2}}{600} = 1 \to 2$

$1 + 2; \frac{x^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{1225} = 2 \frac{50 x^{2}}{1225} = 2 \frac{2 x^{2}}{49} = 2 x^{2} = 49 x = 7 หรือ 7$

$แทน x^{2} = 49 ลงใน 1 จะได้ \frac{49}{25} - \frac{y^{2}}{600} = 1 1176 - y^{2} = 600 y^{2} = 576 y = - 24 หรือ 24$

$ดังนั้นจุดใน S \cap T ได้แก่ (- 7, - 24), (- 7, 24), (7, - 24), (7, 24) นำพิกัดมาวาดรูป$