ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 14

ให้ $A$ แทนเซตของจำนวนเชิงซ้อน $z$ ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน

ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ ${|z - i|}^{2} + {|z + 1|}^{2} < 4$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก) ถ้า $w \in A$ แล้ว $R e (w) \in A$

ข) ถ้า $w \in A$ แล้ว $\bar{w} \in A$

ค) ถ้า $w \in A$ แล้ว $w^{2} \in A$

จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1
ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
2
ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
3
ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น
4
ข้อความ ข) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น
5
ข้อความ ก) ข) และ ค) ถูกต้อง

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$กำหนดให้ z = x + y i \to |z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \to 1 จากโจทย์ {|z - i|}^{2} + {|z + i|}^{2} < 4 {|x + y i - i|}^{2} + {|x + y i + i|}^{2} < 4 {|x + (y - 1) i|}^{2} + {|x + (y + 1) i|}^{2} < 4$

${(\sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{x^{2} + {(y + 1)}^{2}})}^{2} < 4 x^{2} + {(y - 1)}^{2} + x^{2} + {(y + 1)}^{2} < 4 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 < 4 x^{2} + y^{2} + 1 < 2 x^{2} + y^{2} < 1$

$สูตรวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0, 0) คือ x^{2} + y^{2} = r^{2} โดย r = รัศมีวงกลม จาก 1 |z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} z = x^{2} + y^{2}$

$จากโจทย์ A แทนเซตของจำนวนเชิงซ้อน z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อน แสดงว่า x^{2} + y^{2} < 1 A เป็นเซตของ (x, y) ใดๆ ที่อยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วย มีจุดศูนย์กลางที่ (0, 0)$

$จากโจทย์ ก) ถ้า w \in A แล้ว R e (w) \in A$

$กำหนดให้ w = x + y i \in A จะได้ x^{2} + y^{2} < 1 แสดงว่า x^{2} < 1 ทำให้ - 1 < x < 1 จะได้ (x, 0) อยู่ภายในวงกลมนี้ด้วย ดังนั้น R e (w) \in A ข้อ ก) ถูกต้อง$

$จากโจทย์ ข) ถ้า w \in A แล้ว w \in A$
$กำหนดให้ w = x + y i \in A จะได้ | w | < 1 - โดย |w| = | w | จะได้ | w | < 1 ดังนั้น w \in A ข้อ ข) ถูกต้อง$

$จากโจทย์ ค) ถ้า w \in A แล้ว w^{2} \in A$
$กำหนดให้ w = x + y i \in A จะได้ | w | < 1 แสดงว่า {| w |}^{2} < 1^{2} - โดย {| w |}^{2} = |w^{2}|$

$จะได้ | w^{2} | < 1^{2} | w^{2} | < 1 ดังนั้น w^{2} \in A ข้อ ค) ถูกต้อง$

ข้อถัดไป